حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} = y^{3}$ ; $(64, 16)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 64$ و $y = 16$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y'$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x = 3 y^{2} y'$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 y^{2} y' = 2 x$ .

$3 y^{2} y' = 2 x$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $3 y^{2} y' = 2 x$ على $3 y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $3 y^{2} y' = 2 x$ على $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 64$ و $y = 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $64$ في العبارة.

$\frac{2 (64)}{3 y^{2}}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $16$ في العبارة.

$\frac{2 (64)}{3 {(16)}^{2}}$

خطوة 1.7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

اضرب $2$ في $64$ .

$\frac{128}{3 \cdot 16^{2}}$

خطوة 1.7.3.2

ارفع $16$ إلى القوة $2$ .

$\frac{128}{3 \cdot 256}$

خطوة 1.7.3.3

اضرب $3$ في $256$ .

$\frac{128}{768}$

خطوة 1.7.4

احذِف العامل المشترك لـ $128$ و $768$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

أخرِج العامل $128$ من $128$ .

$\frac{128 (1)}{768}$

خطوة 1.7.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

أخرِج العامل $128$ من $768$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

خطوة 1.7.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

خطوة 1.7.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{6}$ ونقطة مُعطاة $(64, 16)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = \frac{1}{6} \cdot (x - (64))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{6} \cdot (x - 64)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 16 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 16 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 64$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{6}$ و $x$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 64$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot - 64$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 64$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3} \cdot - 32$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 32$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{- 32}{3}$

خطوة 2.3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 16 = \frac{x}{6} - \frac{32}{3}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $16$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $16$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $16$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 16 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $16$ في $3$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 48}{3}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 32$ و $48$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{16}{3}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{16}{3}$

خطوة 3