حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{2}$ ; $x = 1$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $1$ عن $x$ .

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{2}$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

خطوة 1.2.3

بسّط ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = 1 {(3 - (1))}^{2}$

خطوة 1.2.3.2

اضرب ${(3 - (1))}^{2}$ في $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{2}$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{2}$

خطوة 1.2.3.4

اطرح $1$ من $3$ .

$y = 2^{2}$

خطوة 1.2.3.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = 4$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 4$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(3 - x)}^{2}$ بالصيغة $(3 - x) (3 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((3 - x) (3 - x))]$

خطوة 2.2

وسّع $(3 - x) (3 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 (3 - x) - x (3 - x))]$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))]$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))]$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - x (- x))]$

خطوة 2.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

خطوة 2.3.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})]$

خطوة 2.3.1.7

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + x^{2})]$

خطوة 2.3.2

اطرح $3 x$ من $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 6 x + x^{2})]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [9 - 6 x + x^{2}] + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 - 6 x + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.5.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.5.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.5.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{4} (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.5.6

اضرب $- 6$ في $1$ .

$x^{4} (- 6 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.5.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.5.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) (4 x^{3})$

خطوة 2.5.9

انقُل $4$ إلى يسار $9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + 4 \cdot (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + (4 \cdot 9 + 4 (- 6 x) + 4 x^{2}) x^{3}$

خطوة 2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

انقُل $- 6$ إلى يسار $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.2

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.2.1

انقُل $x$ .

$- 6 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.2.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 6 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 6 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.2.3

أضف $1$ و $4$ .

$- 6 x^{4} + x^{5} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{5}$ .

$- 6 x^{4} + 2 \cdot x^{5} + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.4

اضرب $4$ في $9$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.5

اضرب $- 6$ في $4$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x \cdot x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.6

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.6.1

انقُل $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x) + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.6.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{3 + 1} + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.6.3

أضف $3$ و $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{2} x^{3}$

خطوة 2.6.4.7

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.7.1

انقُل $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2})$

خطوة 2.6.4.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2}$

خطوة 2.6.4.7.3

أضف $3$ و $2$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{5}$

خطوة 2.6.4.8

اطرح $24 x^{4}$ من $- 6 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 x^{5}$

خطوة 2.6.4.9

أضف $2 x^{5}$ و $4 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} + 6 x^{5} + 36 x^{3}$

خطوة 2.6.5

أعِد ترتيب الحدود.

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$

خطوة 2.7

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

خطوة 2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $6$ في $1$ .

$6 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

خطوة 2.8.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$6 - 30 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3}$

خطوة 2.8.1.4

اضرب $- 30$ في $1$ .

$6 - 30 + 36 {(1)}^{3}$

خطوة 2.8.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$6 - 30 + 36 \cdot 1$

خطوة 2.8.1.6

اضرب $36$ في $1$ .

$6 - 30 + 36$

خطوة 2.8.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

اطرح $30$ من $6$ .

$- 24 + 36$

خطوة 2.8.2.2

أضف $- 24$ و $36$ .

$12$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $12$ ونقطة مُعطاة $(1, 4)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 12 \cdot (x - (1))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $12 \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 4 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 4 = 12 x + 12 \cdot - 1$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $12$ في $- 1$ .

$y - 4 = 12 x - 12$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 12 x - 12 + 4$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 12$ و $4$ .

$y = 12 x - 8$

خطوة 4