حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ ; $(0, - 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = - 3$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

خطوة 1.1.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ بالصيغة ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

خطوة 1.1.3.2

اضرب الأُسس في ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

خطوة 1.1.3.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 3}$ و $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.3.5

اضرب $2$ في $3$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.3.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

خطوة 1.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

أضف $6 x$ و $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

خطوة 1.3.7.2

اضرب $6$ في $9$ .

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

خطوة 1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اجمع $54$ و $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

خطوة 1.4.2.2

اجمع $\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ و $x$ .

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 0$ .

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $54$ في $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

خطوة 1.6.2.2

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

خطوة 1.6.2.3

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{0}{1^{4}}$

خطوة 1.6.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{0}{1}$

خطوة 1.6.3

اقسِم $0$ على $1$ .

$0$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $0$ ونقطة مُعطاة $(0, - 3)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $0 \cdot (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أضف $x$ و $0$ .

$y + 3 = 0 \cdot x$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $0$ في $x$ .

$y + 3 = 0$

خطوة 2.3.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$y = - 3$

خطوة 3