حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(e^{2 x} - 4)}^{2}$ , $(0, 9)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 9$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{2 x} - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $e^{2 x} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $e^{2 x} - 4$ .

$2 (e^{2 x} - 4) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 x} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.4.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.4.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x} + 0)$

خطوة 1.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

أضف $2 e^{2 x}$ و $0$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x})$

خطوة 1.4.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$4 (e^{2 x} - 4) e^{2 x}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 e^{2 x} + 4 \cdot - 4) e^{2 x}$

خطوة 1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 e^{2 x} e^{2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

خطوة 1.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اضرب $e^{2 x}$ في $e^{2 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1

انقُل $e^{2 x}$ .

$4 (e^{2 x} e^{2 x}) + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

خطوة 1.5.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 e^{2 x + 2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

خطوة 1.5.3.1.3

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$4 e^{4 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

خطوة 1.5.3.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$4 e^{4 x} - 16 e^{2 x}$

خطوة 1.6

احسِب قيمة المشتق في $x = 0$ .

$4 e^{4 (0)} - 16 e^{2 (0)}$

خطوة 1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

اضرب $4$ في $0$ .

$4 e^{0} - 16 e^{2 (0)}$

خطوة 1.7.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$4 \cdot 1 - 16 e^{2 (0)}$

خطوة 1.7.1.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 - 16 e^{2 (0)}$

خطوة 1.7.1.4

اضرب $2$ في $0$ .

$4 - 16 e^{0}$

خطوة 1.7.1.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$4 - 16 \cdot 1$

خطوة 1.7.1.6

اضرب $- 16$ في $1$ .

$4 - 16$

خطوة 1.7.2

اطرح $16$ من $4$ .

$- 12$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 12$ ونقطة مُعطاة $(0, 9)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - 12 \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 9 = - 12 \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - 9 = - 12 x$

خطوة 2.3.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 12 x + 9$

خطوة 3