حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y^{8} = 9$ , $(3, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{8}) = \frac{d}{d x} (9)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y^{8}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{8}] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{8}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$x^{2} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{2} (8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3

انقُل $8$ إلى يسار $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} y^{7} \frac{d}{d x} [y] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} (2 x)$

خطوة 1.2.6

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

انقُل $2$ إلى يسار $y^{8}$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + 2 \cdot y^{8} x$

خطوة 1.2.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x$

خطوة 1.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $2 y^{8} x$ من كلا المتعادلين.

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ على $8 y^{7} x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ على $8 y^{7} x^{2}$ .

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

خطوة 1.5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

خطوة 1.5.2.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

خطوة 1.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y^{8} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{8 y^{7} x^{2}}$

خطوة 1.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y^{8} x}{4 y^{7} x^{2}}$

خطوة 1.5.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{8}$ و $y^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.2.1

أخرِج العامل $y^{7}$ من $- y^{8} x$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{4 y^{7} x^{2}}$

خطوة 1.5.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $y^{7}$ من $4 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

خطوة 1.5.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

خطوة 1.5.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y x}{4 x^{2}}$

خطوة 1.5.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{4 x^{2}}$

خطوة 1.5.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

خطوة 1.5.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

خطوة 1.5.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y}{4 x}$

خطوة 1.5.2.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y}{4 x}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 x}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$- \frac{y}{4 (3)}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$- \frac{1}{4 (3)}$

خطوة 1.7.3

اضرب $4$ في $3$ .

$- \frac{1}{12}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{1}{12}$ ونقطة مُعطاة $(3, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{12} \cdot (x - (3))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{1}{12}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} - \frac{1}{12} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{12}$ إلى بسط الكسر.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{12} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 (4)} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.5.3

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{- 1}{4}$ و $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- - 1}{4}$

خطوة 2.3.1.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + 1$

خطوة 2.3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1 + 4}{4}$

خطوة 2.3.2.4

أضف $1$ و $4$ .

$y = - \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{1}{12} x) + \frac{5}{4}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{1}{12} x + \frac{5}{4}$

خطوة 3