حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y e^{\sin (x)} = x \cos (y)$ , $(0, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y e^{\sin (x)}) = \frac{d}{d x} (x \cos (y))$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = e^{\sin (x)}$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$y (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

خطوة 1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

اضرب $\cos (y)$ في $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

خطوة 1.3.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y' = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

خطوة 1.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x y' \sin (y) + \cos (y)$

خطوة 1.5.3

أضف $x y' \sin (y)$ إلى كلا المتعادلين.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y)$

خطوة 1.5.4

اطرح $y e^{\sin (x)} \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

خطوة 1.5.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y' \sin (y)$ .

$y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

خطوة 1.5.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y))$ .

$y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

خطوة 1.5.6

اقسِم كل حد في $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ على $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1

اقسِم كل حد في $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ على $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ .

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

خطوة 1.5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

خطوة 1.5.6.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

خطوة 1.5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} - \frac{y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

خطوة 1.5.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$\frac{\cos (y) - y e^{\sin (0)} \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (y)}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $0$ في العبارة.

$\frac{\cos (0) + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

خطوة 1.7.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{0} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

خطوة 1.7.3.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (1 \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

خطوة 1.7.3.4

اضرب $\cos (0)$ في $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

خطوة 1.7.3.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot 1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

خطوة 1.7.3.6

اضرب $0$ في $1$ .

$\frac{1 + 0}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

خطوة 1.7.3.7

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{e^{0} + (0) \sin (0)}$

خطوة 1.7.4.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{1 + (0) \sin (0)}$

خطوة 1.7.4.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{1 + 0 \cdot 0}$

خطوة 1.7.4.4

اضرب $0$ في $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

خطوة 1.7.4.5

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{1}$

خطوة 1.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1}$

خطوة 1.7.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $1$ ونقطة مُعطاة $(0, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3.2

بسّط $1 \cdot (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $x + 0$ في $1$ .

$y = x + 0$

خطوة 2.3.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$y = x$

خطوة 3