حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ at $x = 2$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $2$ عن $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{1}{{(2^{3} - (2))}^{2}}$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

خطوة 1.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$y = \frac{1}{{(8 - (2))}^{2}}$

خطوة 1.2.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.3.3

اطرح $2$ من $8$ .

$y = \frac{1}{6^{2}}$

خطوة 1.2.3.4

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{1}{36}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = \frac{1}{36}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ بالصيغة ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}]$

خطوة 2.1.2

اضرب الأُسس في ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{2 \cdot - 1}]$

خطوة 2.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{- 2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = x^{3} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} - x$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1)$

خطوة 2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

خطوة 2.5.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$ .

$- (3 x^{2} - 1) \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{({(2)}^{3} - (2))}^{3}}$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - (2))}^{3}}$

خطوة 2.7.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - 2)}^{3}}$

خطوة 2.7.1.3

اطرح $2$ من $8$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{6^{3}}$

خطوة 2.7.1.4

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{216}$

خطوة 2.7.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- (3 \cdot 4 - 1) \frac{2}{216}$

خطوة 2.7.2.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$- (12 - 1) \frac{2}{216}$

خطوة 2.7.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.1

اطرح $1$ من $12$ .

$- 1 \cdot 11 \frac{2}{216}$

خطوة 2.7.2.2.2

اضرب $- 1$ في $11$ .

$- 11 (\frac{2}{216})$

خطوة 2.7.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $216$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 11 \frac{2 (1)}{216}$

خطوة 2.7.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $216$ .

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

خطوة 2.7.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

خطوة 2.7.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 11 (\frac{1}{108})$

خطوة 2.7.2.2.4

اجمع $- 11$ و $\frac{1}{108}$ .

$\frac{- 11}{108}$

خطوة 2.7.2.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{11}{108}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $- \frac{11}{108}$ ونقطة مُعطاة $(2, \frac{1}{36})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{36}) = - \frac{11}{108} \cdot (x - (2))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $- \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{1}{36} = 0 + 0 - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} x - \frac{11}{108} \cdot - 2$

خطوة 3.3.1.2.2

اجمع $x$ و $\frac{11}{108}$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} - \frac{11}{108} \cdot - 2$

خطوة 3.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{11}{108}$ إلى بسط الكسر.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{108} \cdot - 2$

خطوة 3.3.1.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $108$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 (54)} \cdot - 2$

خطوة 3.3.1.2.3.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 3.3.1.2.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 3.3.1.2.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{54} \cdot - 1$

خطوة 3.3.1.2.4

اجمع $\frac{- 11}{54}$ و $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11 \cdot - 1}{54}$

خطوة 3.3.1.2.5

اضرب $- 11$ في $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{11}{54}$

خطوة 3.3.1.3

انقُل $11$ إلى يسار $x$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54}$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $\frac{1}{36}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} + \frac{1}{36}$

خطوة 3.3.2.2

لكتابة $\frac{11}{54}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36}$

خطوة 3.3.2.3

لكتابة $\frac{1}{36}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.3.2.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $108$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

اضرب $\frac{11}{54}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{54 \cdot 2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.3.2.4.2

اضرب $54$ في $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.3.2.4.3

اضرب $\frac{1}{36}$ في $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{36 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.4.4

اضرب $36$ في $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{108}$

خطوة 3.3.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2 + 3}{108}$

خطوة 3.3.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.6.1

اضرب $11$ في $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{22 + 3}{108}$

خطوة 3.3.2.6.2

أضف $22$ و $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{25}{108}$

خطوة 3.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{11}{108} x) + \frac{25}{108}$

خطوة 3.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{11}{108} x + \frac{25}{108}$

خطوة 4