حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ at the point $(4, - \frac{57}{4})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = - \frac{57}{4}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.9

اجمع $- 4$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.10

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.11

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.2.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + 0$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{x^{2}} + 0$

خطوة 1.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اجمع $5$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} + 0$

خطوة 1.5.2.2

أضف $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$ و $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$\frac{5}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.7.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.7.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

خطوة 1.7.1.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

خطوة 1.7.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

خطوة 1.7.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{16} - 1 \cdot 1$

خطوة 1.7.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{5}{16} - 1$

خطوة 1.7.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{16}{16}$ .

$\frac{5}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

خطوة 1.7.3

اجمع $- 1$ و $\frac{16}{16}$ .

$\frac{5}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

خطوة 1.7.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{5 - 1 \cdot 16}{16}$

خطوة 1.7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $- 1$ في $16$ .

$\frac{5 - 16}{16}$

خطوة 1.7.5.2

اطرح $16$ من $5$ .

$\frac{- 11}{16}$

خطوة 1.7.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{11}{16}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{11}{16}$ ونقطة مُعطاة $(4, - \frac{57}{4})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{57}{4}) = - \frac{11}{16} \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + \frac{57}{4} = 0 + 0 - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} x - \frac{11}{16} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $x$ و $\frac{11}{16}$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} - \frac{11}{16} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{11}{16}$ إلى بسط الكسر.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{16} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 (4)} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.2.4

اجمع $\frac{- 11}{4}$ و $- 1$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11 \cdot - 1}{4}$

خطوة 2.3.1.2.5

اضرب $- 11$ في $- 1$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{11}{4}$

خطوة 2.3.1.3

انقُل $11$ إلى يسار $x$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $\frac{57}{4}$ من كلا المتعادلين.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4} - \frac{57}{4}$

خطوة 2.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{11 - 57}{4}$

خطوة 2.3.2.3

اطرح $57$ من $11$ .

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

خطوة 2.3.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

خطوة 2.3.2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 46$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 46$ .

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 (- 23)}{4}$

خطوة 2.3.2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 23}{2}$

خطوة 2.3.2.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{11 x}{16} - \frac{23}{2}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{11}{16} x) - \frac{23}{2}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{11}{16} x - \frac{23}{2}$

خطوة 3