حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y^{2} = 3 y + 1$ at $(2, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (3 y + 1)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

خطوة 1.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 y + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y' + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 y' + 0$

خطوة 1.3.3.2

أضف $3 y'$ و $0$ .

$3 y'$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 3 y'$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $3 y'$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y' = 0$

خطوة 1.5.2

اطرح $2 y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y y' - 3 y' = - 2 y^{2} x$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $2 x^{2} y y' - 3 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $2 x^{2} y y'$ .

$y' (2 x^{2} y) - 3 y' = - 2 y^{2} x$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3 = - 2 y^{2} x$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ على $2 x^{2} y - 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ على $2 x^{2} y - 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x^{2} y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$- \frac{2 y^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} y - 3}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$- \frac{2 {(1)}^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} (1) - 3}$

خطوة 1.7.3

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2 \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $2$ في $2^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1.1

اضرب $2$ في $2^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

خطوة 1.7.4.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1 + 2} \cdot 1 - 3}$

خطوة 1.7.4.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} \cdot 1 - 3}$

خطوة 1.7.4.2

بسّط $2^{3} \cdot 1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} - 3}$

خطوة 1.7.4.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{8 - 3}$

خطوة 1.7.4.4

اطرح $3$ من $8$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{5}$

خطوة 1.7.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{4 \cdot 1}{5}$

خطوة 1.7.5.2

اضرب $4$ في $1$ .

$- \frac{4}{5}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{4}{5}$ ونقطة مُعطاة $(2, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

خطوة 2.3.1.5.2

اجمع $2$ و $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

خطوة 2.3.1.5.3

اضرب $2$ في $4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

خطوة 2.3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

خطوة 2.3.2.4

أضف $8$ و $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

خطوة 3