حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x + 1}{x - 5}$ , $(4, - 5)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = - 5$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 5) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $x - 5$ في $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x - 5 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.7

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - 5 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 5 - x - 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{0 - 5 - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.2.1.2

اطرح $5$ من $0$ .

$\frac{- 5 - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 5 - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.2.3

اطرح $1$ من $- 5$ .

$\frac{- 6}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$- \frac{6}{{((4) - 5)}^{2}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $5$ من $4$ .

$- \frac{6}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 1.5.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{6}{1}$

خطوة 1.5.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم $6$ على $1$ .

$- 1 \cdot 6$

خطوة 1.5.2.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 6$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 6$ ونقطة مُعطاة $(4, - 5)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5) = - 6 \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 5 = - 6 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 6 \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + 5 = 0 + 0 - 6 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + 5 = - 6 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 5 = - 6 x - 6 \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $- 6$ في $- 4$ .

$y + 5 = - 6 x + 24$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$y = - 6 x + 24 - 5$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $5$ من $24$ .

$y = - 6 x + 19$

خطوة 3