حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ at $(2, \frac{11}{3})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = \frac{11}{3}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{3} x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.2.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.2.5

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $\frac{4 x}{3} - 2$ و $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 2$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

$\frac{4 (2)}{3} - 2$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{8}{3} - 2$

خطوة 1.6.2

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 1.6.3

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 1.6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{8 - 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 1.6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{8 - 6}{3}$

خطوة 1.6.5.2

اطرح $6$ من $8$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{2}{3}$ ونقطة مُعطاة $(2, \frac{11}{3})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{11}{3}) = \frac{2}{3} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{2}{3} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{11}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $- 2$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{11}{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{11}{3}$

خطوة 2.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 x - 4 + 11}{3}$

خطوة 2.3.2.3

أضف $- 4$ و $11$ .

$y = \frac{2 x + 7}{3}$

خطوة 2.3.2.4

قسّم الكسر $\frac{2 x + 7}{3}$ إلى كسرين.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{7}{3}$

خطوة 3