حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(16, \frac{17}{4})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 16$ و $y = \frac{17}{4}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.3.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.3.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.12

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

خطوة 1.3.13

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.13.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

خطوة 1.3.13.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.13.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.13.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.13.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.13.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.13.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.13.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.14

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 16$ .

$\frac{1}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $2^{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.1.2

اضرب الأُسس في ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.1.4

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.3.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $2^{4}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.3.2

اضرب الأُسس في ${(2^{4})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{4 (\frac{3}{2})}}$

خطوة 1.6.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 3}}$

خطوة 1.6.1.3.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{6}}$

خطوة 1.6.1.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2^{1 + 6}}$

خطوة 1.6.1.3.4

أضف $1$ و $6$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2^{7}}$

خطوة 1.6.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $7$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{128}$

خطوة 1.6.2

لكتابة $\frac{1}{8}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{16}{16}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{128}$

خطوة 1.6.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $128$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{16}{16}$ .

$\frac{16}{8 \cdot 16} - \frac{1}{128}$

خطوة 1.6.3.2

اضرب $8$ في $16$ .

$\frac{16}{128} - \frac{1}{128}$

خطوة 1.6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{16 - 1}{128}$

خطوة 1.6.5

اطرح $1$ من $16$ .

$\frac{15}{128}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{15}{128}$ ونقطة مُعطاة $(16, \frac{17}{4})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{17}{4}) = \frac{15}{128} \cdot (x - (16))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{15}{128} \cdot (x - 16)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{17}{4} = 0 + 0 + \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} x + \frac{15}{128} \cdot - 16$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{15}{128}$ و $x$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{128} \cdot - 16$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $16$ من $128$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 (8)} \cdot - 16$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $16$ من $- 16$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{8} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{15}{8}$ و $- 1$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15 \cdot - 1}{8}$

خطوة 2.3.1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.7.1

اضرب $15$ في $- 1$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15}{8}$

خطوة 2.3.1.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{17}{4}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17}{4}$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $\frac{17}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17}{4} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اضرب $\frac{17}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

خطوة 2.3.2.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17 \cdot 2}{8}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15 + 17 \cdot 2}{8}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $17$ في $2$ .

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15 + 34}{8}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 15$ و $34$ .

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{19}{8}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{15}{128} x + \frac{19}{8}$

خطوة 3