حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x} (x - 8)$ , $(16, 32)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 16$ و $y = 32$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 8)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x - 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.3

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.10

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.3

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.2.3.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.2.3.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.3.4

اطرح $1$ من $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.4

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.5

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.11.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.8

لكتابة $x^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.9

اجمع $x^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.11

انقُل $2$ إلى يسار $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.2.12

أضف $2 x^{\frac{1}{2}}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12

احسِب قيمة المشتق في $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.1.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.1.1.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{12}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.1.3

اقسِم $12$ على $2$ .

$6 - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.1.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.4.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$6 - \frac{4}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.13.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.13.1.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 - \frac{4}{4^{1}}$

خطوة 1.13.1.4.4

احسِب قيمة الأُس.

$6 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.13.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.13.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.13.1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$6 - 1$

خطوة 1.13.2

اطرح $1$ من $6$ .

$5$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $5$ ونقطة مُعطاة $(16, 32)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (32) = 5 \cdot (x - (16))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $5 \cdot (x - 16)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 32 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 32 = 5 x + 5 \cdot - 16$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $5$ في $- 16$ .

$y - 32 = 5 x - 80$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $32$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 5 x - 80 + 32$

خطوة 2.3.2.2

أضف $- 80$ و $32$ .

$y = 5 x - 48$

خطوة 3