حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(6, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 6$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 5))$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة ${(y - 3)}^{2}$ بالصيغة $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 3) (y - 3)]$

خطوة 1.2.2

وسّع $(y - 3) (y - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

خطوة 1.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

خطوة 1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

خطوة 1.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

خطوة 1.2.3.1.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

خطوة 1.2.3.1.3

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

خطوة 1.2.3.2

اطرح $3 y$ من $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 6 y + 9]$

خطوة 1.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 6 y + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.7

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.8

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.9

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 y y' - 6 y' + 0$

خطوة 1.2.10

أضف $2 y y' - 6 y'$ و $0$ .

$2 y y' - 6 y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 (x - 5)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 5]$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 (1 + 0)$

خطوة 1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 1.3.5.2

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' - 6 y' = 4$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y y' - 6 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = 4$

خطوة 1.5.1.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = 4$

خطوة 1.5.1.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = 4$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $2 y' (y - 3) = 4$ على $2 (y - 3)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 y' (y - 3) = 4$ على $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 3)}$

خطوة 1.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

خطوة 1.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2}{y - 3}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 3}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 6$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$\frac{2}{y - 3}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$\frac{2}{(1) - 3}$

خطوة 1.7.3

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{2}{- 2}$

خطوة 1.7.4

اقسِم $2$ على $- 2$ .

$- 1$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 1$ ونقطة مُعطاة $(6, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (6))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 6)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 1 \cdot (x - 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 6)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 6)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 6$

خطوة 2.3.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 6$

خطوة 2.3.1.4.2

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$y - 1 = - x + 6$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - x + 6 + 1$

خطوة 2.3.2.2

أضف $6$ و $1$ .

$y = - x + 7$

خطوة 3