حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 7)}^{2}$ ; $(3, - 8)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = - 8$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 1 - x$ و $g (x) = {(x^{2} - 7)}^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 7)}^{2}] + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 7$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 7$ .

$(1 - x) (2 (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $1 - x$ .

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 7) (2 x + 0) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 7) (2 x) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.3.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.3.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 1.3.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.11.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} \cdot - 1$

خطوة 1.3.11.2

انقُل $- 1$ إلى يسار ${(x^{2} - 7)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x - 1 \cdot {(x^{2} - 7)}^{2}$

خطوة 1.3.11.3

أعِد كتابة $- 1 {(x^{2} - 7)}^{2}$ بالصيغة $- {(x^{2} - 7)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x - {(x^{2} - 7)}^{2}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 7) x - {(x^{2} - 7)}^{2}$

خطوة 1.4.2

اضرب $4$ في $1$ .

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 7) x - {(x^{2} - 7)}^{2}$

خطوة 1.4.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$(4 - 4 x) (x^{2} - 7) x - {(x^{2} - 7)}^{2}$

خطوة 1.4.4

أخرِج العامل $x^{2} - 7$ من $(4 - 4 x) (x^{2} - 7) x - {(x^{2} - 7)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

أخرِج العامل $x^{2} - 7$ من $(4 - 4 x) (x^{2} - 7) x$ .

$(x^{2} - 7) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 7)}^{2}$

خطوة 1.4.4.2

أخرِج العامل $x^{2} - 7$ من $- {(x^{2} - 7)}^{2}$ .

$(x^{2} - 7) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 7) (- (x^{2} - 7))$

خطوة 1.4.4.3

أخرِج العامل $x^{2} - 7$ من $(x^{2} - 7) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 7) (- (x^{2} - 7))$ .

$(x^{2} - 7) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 7))$

خطوة 1.4.5

أعِد ترتيب عوامل $(x^{2} - 7) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 7))$ .

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 7)) (x^{2} - 7)$

خطوة 1.4.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 7)) (x^{2} - 7)$

خطوة 1.4.6.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.2.1

انقُل $x$ .

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 7)) (x^{2} - 7)$

خطوة 1.4.6.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 7)) (x^{2} - 7)$

خطوة 1.4.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 7) (x^{2} - 7)$

خطوة 1.4.6.4

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 7) (x^{2} - 7)$

خطوة 1.4.7

اطرح $x^{2}$ من $- 4 x^{2}$ .

$(4 x - 5 x^{2} + 7) (x^{2} - 7)$

خطوة 1.4.8

وسّع $(4 x - 5 x^{2} + 7) (x^{2} - 7)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 7 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

خطوة 1.4.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 7 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

خطوة 1.4.9.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 7 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

خطوة 1.4.9.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 7 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

خطوة 1.4.9.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 7 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

خطوة 1.4.9.2

اضرب $- 7$ في $4$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

خطوة 1.4.9.3

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.3.1

انقُل $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

خطوة 1.4.9.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

خطوة 1.4.9.3.3

أضف $2$ و $2$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

خطوة 1.4.9.4

اضرب $- 7$ في $- 5$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{4} + 35 x^{2} + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

خطوة 1.4.9.5

اضرب $7$ في $- 7$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{4} + 35 x^{2} + 7 x^{2} - 49$

خطوة 1.4.10

أضف $35 x^{2}$ و $7 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{4} + 42 x^{2} - 49$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 3$ .

$4 {(3)}^{3} - 28 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 42 {(3)}^{2} - 49$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$4 \cdot 27 - 28 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 42 {(3)}^{2} - 49$

خطوة 1.6.1.2

اضرب $4$ في $27$ .

$108 - 28 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 42 {(3)}^{2} - 49$

خطوة 1.6.1.3

اضرب $- 28$ في $3$ .

$108 - 84 - 5 {(3)}^{4} + 42 {(3)}^{2} - 49$

خطوة 1.6.1.4

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$108 - 84 - 5 \cdot 81 + 42 {(3)}^{2} - 49$

خطوة 1.6.1.5

اضرب $- 5$ في $81$ .

$108 - 84 - 405 + 42 {(3)}^{2} - 49$

خطوة 1.6.1.6

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$108 - 84 - 405 + 42 \cdot 9 - 49$

خطوة 1.6.1.7

اضرب $42$ في $9$ .

$108 - 84 - 405 + 378 - 49$

خطوة 1.6.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

اطرح $84$ من $108$ .

$24 - 405 + 378 - 49$

خطوة 1.6.2.2

اطرح $405$ من $24$ .

$- 381 + 378 - 49$

خطوة 1.6.2.3

أضف $- 381$ و $378$ .

$- 3 - 49$

خطوة 1.6.2.4

اطرح $49$ من $- 3$ .

$- 52$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 52$ ونقطة مُعطاة $(3, - 8)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 8) = - 52 \cdot (x - (3))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 8 = - 52 \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 52 \cdot (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + 8 = 0 + 0 - 52 \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + 8 = - 52 \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 8 = - 52 x - 52 \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $- 52$ في $- 3$ .

$y + 8 = - 52 x + 156$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$y = - 52 x + 156 - 8$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $8$ من $156$ .

$y = - 52 x + 148$

خطوة 3