حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (x^{3} + 3) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 4)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 4$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3} + 3$ و $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 4 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

خطوة 1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{3} + 3) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

خطوة 1.2.4

اضرب $2$ في $3$ .

$(x^{3} + 3) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

خطوة 1.2.5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 3) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{3} + 3) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

خطوة 1.2.7

اضرب $- 4$ في $1$ .

$(x^{3} + 3) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

خطوة 1.2.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{3} + 3) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

خطوة 1.2.9

أضف $6 x - 4$ و $0$ .

$(x^{3} + 3) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3]$

خطوة 1.2.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{3} + 3) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 1.2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(x^{3} + 3) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 1.2.12

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{3} + 3) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

خطوة 1.2.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.13.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$(x^{3} + 3) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

خطوة 1.2.13.2

انقُل $3$ إلى يسار $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 3) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{3} + 3) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{3} + 3) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{3} + 3) (6 x) + (x^{3} + 3) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} (6 x) + 3 (6 x) + (x^{3} + 3) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} (6 x) + 3 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1.1

انقُل $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 3 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.1.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 3 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 3 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.1.3

أضف $1$ و $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 3 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.2

انقُل $6$ إلى يسار $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 3 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.3

اضرب $6$ في $3$ .

$6 x^{4} + 18 x + x^{3} \cdot - 4 + 3 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.4

انقُل $- 4$ إلى يسار $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 18 x - 4 \cdot x^{3} + 3 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.5

اضرب $3$ في $- 4$ .

$6 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.6

اضرب $3$ في $3$ .

$6 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.7

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.7.3

أضف $2$ و $2$ .

$6 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.8

اضرب $- 4$ في $3$ .

$6 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.9

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.9.1

انقُل $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.9.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.9.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.9.3

أضف $2$ و $1$ .

$6 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

خطوة 1.3.6.10

اضرب $3$ في $2$ .

$6 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

خطوة 1.3.6.11

أضف $6 x^{4}$ و $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 18 x - 4 x^{3} - 12 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

خطوة 1.3.6.12

اطرح $12 x^{3}$ من $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 18 x - 16 x^{3} - 12 + 6 x^{2}$

خطوة 1.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 12$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 18 (1) - 12$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 18 (1) - 12$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $15$ في $1$ .

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 18 (1) - 12$

خطوة 1.5.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 18 (1) - 12$

خطوة 1.5.1.4

اضرب $- 16$ في $1$ .

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 18 (1) - 12$

خطوة 1.5.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 18 (1) - 12$

خطوة 1.5.1.6

اضرب $6$ في $1$ .

$15 - 16 + 6 + 18 (1) - 12$

خطوة 1.5.1.7

اضرب $18$ في $1$ .

$15 - 16 + 6 + 18 - 12$

خطوة 1.5.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اطرح $16$ من $15$ .

$- 1 + 6 + 18 - 12$

خطوة 1.5.2.2

أضف $- 1$ و $6$ .

$5 + 18 - 12$

خطوة 1.5.2.3

أضف $5$ و $18$ .

$23 - 12$

خطوة 1.5.2.4

اطرح $12$ من $23$ .

$11$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $11$ ونقطة مُعطاة $(1, 4)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 11 \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 = 11 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $11 \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 4 = 0 + 0 + 11 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 4 = 11 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 4 = 11 x + 11 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $11$ في $- 1$ .

$y - 4 = 11 x - 11$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 11 x - 11 + 4$

خطوة 2.3.2.2

أضف $- 11$ و $4$ .

$y = 11 x - 7$

خطوة 3