حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{8 + x^{3}}$ , $(1, 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 3$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{8 + x^{3}}$ في صورة ${(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 8 + x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $8 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 + x^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 1.7.3

انقُل ${(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

خطوة 1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 + x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.9

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

خطوة 1.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

خطوة 1.12.2

اجمع $\frac{3}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 {(8 + {(1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(8 + 1^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(8 + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14.2.2

أضف $8$ و $1$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14.2.3

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14.2.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.14.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.14.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{1}}$

خطوة 1.14.2.6

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.14.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.14.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{3}{6}$

خطوة 1.14.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

خطوة 1.14.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.14.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

خطوة 1.14.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

خطوة 1.14.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{2}$ ونقطة مُعطاة $(1, 3)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 3 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 3 = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 3$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $3$ في $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 6}{2}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 1$ و $6$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

خطوة 3