حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 4$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $4$ عن $x$ .

$y = {(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = {(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.2

بسّط ${(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

اضرب $6$ في $4$ .

$y = {(24 - 8)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.2.1.2

اطرح $8$ من $24$ .

$y = 16^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.2.1.3

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.2.1.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 1.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 4^{1}$

خطوة 1.2.2.3

احسِب قيمة الأُس.

$y = 4$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 4$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 6 x - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $6 x - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x - 8$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

خطوة 2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

خطوة 2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

خطوة 2.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

خطوة 2.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

خطوة 2.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

خطوة 2.6.3

انقُل ${(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

خطوة 2.8

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

خطوة 2.10

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 8])$

خطوة 2.11

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

خطوة 2.12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

أضف $6$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

خطوة 2.12.2

اجمع $\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ و $6$ .

$\frac{6}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.12.3

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 2.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{{(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.14

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$\frac{3}{{(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.15

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

اضرب $6$ في $4$ .

$\frac{3}{{(24 - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.15.2

اطرح $8$ من $24$ .

$\frac{3}{16^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.15.3

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{3}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.15.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 2.15.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 2.15.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{4^{1}}$

خطوة 2.15.6

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{3}{4}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $\frac{3}{4}$ ونقطة مُعطاة $(4, 4)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 4 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 4 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $\frac{3}{4}$ و $x$ .

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

خطوة 3.3.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 3.3.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

خطوة 3.3.1.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y - 4 = \frac{3 x}{4} - 3$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 4$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 3$ و $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 1$

خطوة 3.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{3}{4} x + 1$

خطوة 4