حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $\frac{π}{4}$ عن $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.2.2

بسّط $2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$y = \sin (2 \frac{π}{4})$

خطوة 1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

خطوة 1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

خطوة 1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.2.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = \frac{π}{4}$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x) \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.5

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.8

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

خطوة 2.9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

خطوة 2.10

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

خطوة 2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

خطوة 2.12

أضف $1$ و $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

خطوة 2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

خطوة 2.13.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

خطوة 2.14

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{π}{4}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \frac{2^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$- 2 \frac{2}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 2 (\frac{2}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{2}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.8

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 1 + 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

خطوة 2.15.1.9

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 1 + 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.10

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.10.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.10.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.10.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.10.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.10.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.10.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 + 2 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.10.5

احسِب قيمة الأُس.

$- 1 + 2 \frac{2}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.11

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 1 + 2 (\frac{2}{4})$

خطوة 2.15.1.12

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.12.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 1 + 2 \frac{2}{2 (2)}$

خطوة 2.15.1.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 1 + 2 \frac{2}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.15.1.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 + \frac{2}{2}$

خطوة 2.15.1.13

اقسِم $2$ على $2$ .

$- 1 + 1$

خطوة 2.15.2

أضف $- 1$ و $1$ .

$0$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $0$ ونقطة مُعطاة $(\frac{π}{4}, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $0$ في $x - \frac{π}{4}$ .

$y - 1 = 0$

خطوة 3.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 1$

خطوة 4