حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1 + x}{8 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{9})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = \frac{1}{9}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 + x$ و $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.5

اضرب $8 + e^{x}$ في $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.7

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 e^{x}$ بالصيغة $- e^{x}$ .

$\frac{8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

اطرح $e^{x}$ من $e^{x}$ .

$\frac{8 + 0 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.3.2.2

أضف $8$ و $0$ .

$\frac{8 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- e^{x} x + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.6

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (e^{x} x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.8

أعِد كتابة $- (e^{x} x - 8)$ بالصيغة $- 1 (e^{x} x - 8)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.10

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

أعِد كتابة $0 \cdot e^{0}$ بالصيغة ${(0 \cdot e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 2^{3}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = 0 \cdot e^{0}$ و $b = 2$ .

$- \frac{(0 \cdot e^{0} - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.4.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{(0 \cdot 1 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.4.2

اضرب $0$ في $1$ .

$- \frac{(0 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.4.3

اطرح $2$ من $0$ .

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.4.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.4.4.1

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$0 \cdot e^{0} \cdot 2 = 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2$

خطوة 1.6.1.4.4.2

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.4.4.3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = 0 \cdot e^{0}$ و $b = 2$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot e^{0} + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.4.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot 1 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.4.6

اضرب $0$ في $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.4.7

أضف $0$ و $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 2^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.2.2

أعِد كتابة $e^{0}$ بالصيغة ${(e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + {(e^{0})}^{3})}^{2}}$

خطوة 1.6.2.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = 2$ و $b = e^{0}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + e^{0}) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

خطوة 1.6.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.4.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + 1) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

خطوة 1.6.2.4.2

أضف $2$ و $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

خطوة 1.6.2.4.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

خطوة 1.6.2.4.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 \cdot 1 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

خطوة 1.6.2.4.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

خطوة 1.6.2.4.6

اضرب الأُسس في ${(e^{0})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.4.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0 \cdot 2}))}^{2}}$

خطوة 1.6.2.4.6.2

اضرب $0$ في $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0}))}^{2}}$

خطوة 1.6.2.4.7

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + 1))}^{2}}$

خطوة 1.6.2.4.8

اطرح $2$ من $4$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2 + 1))}^{2}}$

خطوة 1.6.2.4.9

أضف $2$ و $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 \cdot 3)}^{2}}$

خطوة 1.6.2.5

طبّق قاعدة الضرب على $3 \cdot 3$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{3^{2} \cdot 3^{2}}$

خطوة 1.6.2.6

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 3^{2}}$

خطوة 1.6.2.7

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 9}$

خطوة 1.6.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

اضرب $- 2$ في $4$ .

$- \frac{- 8}{9 \cdot 9}$

خطوة 1.6.3.2

اضرب $9$ في $9$ .

$- \frac{- 8}{81}$

خطوة 1.6.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{8}{81}$

خطوة 1.6.4

اضرب $- - \frac{8}{81}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{8}{81})$

خطوة 1.6.4.2

اضرب $\frac{8}{81}$ في $1$ .

$\frac{8}{81}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{8}{81}$ ونقطة مُعطاة $(0, \frac{1}{9})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{8}{81} \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{8}{81} \cdot (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot x$

خطوة 2.3.1.2

اجمع $\frac{8}{81}$ و $x$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8 x}{81}$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{1}{9}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{8 x}{81} + \frac{1}{9}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{8}{81} x + \frac{1}{9}$

خطوة 3