حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 8 \sqrt{x}$ , $(4, 16)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 16$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.10

اجمع $8$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.12

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.14

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$\frac{4}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.1

انقُل ${(4)}^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.15.2

اضرب $4$ في $4^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.2.1

اضرب $4$ في $4^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.15.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4^{1 - \frac{1}{2}}$

خطوة 1.15.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$4^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

خطوة 1.15.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4^{\frac{2 - 1}{2}}$

خطوة 1.15.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$4^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.15.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.3.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.15.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 1.15.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 1.15.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2^{1}$

خطوة 1.15.5

احسِب قيمة الأُس.

$2$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $2$ ونقطة مُعطاة $(4, 16)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = 2 \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $2 \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 16 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 16 = 2 x + 2 \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $2$ في $- 4$ .

$y - 16 = 2 x - 8$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $16$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 2 x - 8 + 16$

خطوة 2.3.2.2

أضف $- 8$ و $16$ .

$y = 2 x + 8$

خطوة 3