حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + x y - y^{2} = - 11$ , $(2, 5)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 5$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 11)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x y - y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + x y' + y - (2 y y')$

خطوة 1.2.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 x + x y' + y - 2 y y'$

خطوة 1.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y$

خطوة 1.3

بما أن $- 11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$x y' - 2 y y' + y = - 2 x$

خطوة 1.5.1.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x y' - 2 y y' = - 2 x - y$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $x y' - 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y'$ .

$y' x - 2 y y' = - 2 x - y$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 2 y) = - 2 x - y$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ على $x - 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ على $x - 2 y$ .

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.5.1

أعِد كتابة $- (2 x + y)$ بالصيغة $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$- \frac{2 (2) + y}{(2) - 2 y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $5$ في العبارة.

$- \frac{2 (2) + 5}{(2) - 2 \cdot 5}$

خطوة 1.7.3

احذِف الأقواس.

$- \frac{2 (2) + 5}{(2) - 2 \cdot 5}$

خطوة 1.7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{4 + 5}{2 - 2 \cdot 5}$

خطوة 1.7.4.2

أضف $4$ و $5$ .

$- \frac{9}{2 - 2 \cdot 5}$

خطوة 1.7.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $- 2$ في $5$ .

$- \frac{9}{2 - 10}$

خطوة 1.7.5.2

اطرح $10$ من $2$ .

$- \frac{9}{- 8}$

خطوة 1.7.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{9}{8}$

خطوة 1.7.7

اضرب $- - \frac{9}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{9}{8})$

خطوة 1.7.7.2

اضرب $\frac{9}{8}$ في $1$ .

$\frac{9}{8}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{9}{8}$ ونقطة مُعطاة $(2, 5)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{9}{8} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 5 = \frac{9}{8} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{9}{8} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{9}{8} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 5 = \frac{9}{8} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 5 = \frac{9}{8} x + \frac{9}{8} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{9}{8}$ و $x$ .

$y - 5 = \frac{9 x}{8} + \frac{9}{8} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y - 5 = \frac{9 x}{8} + \frac{9}{2 (4)} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y - 5 = \frac{9 x}{8} + \frac{9}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 5 = \frac{9 x}{8} + \frac{9}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 5 = \frac{9 x}{8} + \frac{9}{4} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{9}{4}$ و $- 1$ .

$y - 5 = \frac{9 x}{8} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

خطوة 2.3.1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.7.1

اضرب $9$ في $- 1$ .

$y - 5 = \frac{9 x}{8} + \frac{- 9}{4}$

خطوة 2.3.1.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 5 = \frac{9 x}{8} - \frac{9}{4}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{9 x}{8} - \frac{9}{4} + 5$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{8} - \frac{9}{4} + 5 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $5$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{8} - \frac{9}{4} + \frac{5 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{9 x}{8} + \frac{- 9 + 5 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $5$ في $4$ .

$y = \frac{9 x}{8} + \frac{- 9 + 20}{4}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 9$ و $20$ .

$y = \frac{9 x}{8} + \frac{11}{4}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{9}{8} x + \frac{11}{4}$

خطوة 3