حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $\frac{π}{4}$ عن $x$ .

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.2.2

بسّط $4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 4 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.2.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 (\sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.2.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.2.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \sqrt{2} \sqrt{2}$

خطوة 1.2.2.5

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}$

خطوة 1.2.2.6

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}$

خطوة 1.2.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

خطوة 1.2.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{2}$

خطوة 1.2.2.9

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.9.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 1.2.2.9.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 1.2.2.9.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 1.2.2.9.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.9.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 1.2.2.9.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2^{1}$

خطوة 1.2.2.9.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = 2$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = \frac{π}{4}$ و $y = 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \sin (x) \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.5

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.8

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

خطوة 2.9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

خطوة 2.10

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

خطوة 2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

خطوة 2.12

أضف $1$ و $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

خطوة 2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

خطوة 2.13.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

خطوة 2.13.3

أعِد كتابة $4 \cos^{2} (x)$ بالصيغة ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

خطوة 2.13.4

أعِد كتابة $4 \sin^{2} (x)$ بالصيغة ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

خطوة 2.13.5

أعِد ترتيب $- {(2 \sin (x))}^{2}$ و ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

خطوة 2.13.6

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2 \cos (x)$ و $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

خطوة 2.13.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.8

وسّع $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.9

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.9.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ و $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.9.2

أضف $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ و $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.9.3

أضف $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ و $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.10.1

اضرب $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.10.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.10.1.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.10.1.3

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.10.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.10.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.13.10.2

اضرب $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.10.2.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

خطوة 2.13.10.2.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

خطوة 2.13.10.2.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

خطوة 2.13.10.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

خطوة 2.13.10.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

خطوة 2.14

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{π}{4}$ .

$4 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$4 \frac{2}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

خطوة 2.15.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 - 4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

خطوة 2.15.1.7

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 - 4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.8

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.8.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - 4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.8.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.8.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.8.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.8.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 - 4 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.8.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 - 4 \frac{2}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.9

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$2 - 4 (\frac{2}{4})$

خطوة 2.15.1.10

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.10.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$2 + 4 (- 1) \frac{2}{4}$

خطوة 2.15.1.10.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 + 4 \cdot - 1 \frac{2}{4}$

خطوة 2.15.1.10.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 - 1 \cdot 2$

خطوة 2.15.1.11

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 - 2$

خطوة 2.15.2

اطرح $2$ من $2$ .

$0$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $0$ ونقطة مُعطاة $(\frac{π}{4}, 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $0$ في $x - \frac{π}{4}$ .

$y - 2 = 0$

خطوة 3.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 2$

خطوة 4