حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(25, \frac{26}{5})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 25$ و $y = \frac{26}{5}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.3.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.3.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.12

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

خطوة 1.3.13

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.13.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

خطوة 1.3.13.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.13.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.13.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.13.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.13.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.13.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.13.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.14

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 25$ .

$\frac{1}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 \cdot 5^{1}} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.1.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.2

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 {(25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.3.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.6.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}$

خطوة 1.6.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}$

خطوة 1.6.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 \cdot 5^{3}}$

خطوة 1.6.1.3.4

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{10} - \frac{1}{2 \cdot 125}$

خطوة 1.6.1.4

اضرب $2$ في $125$ .

$\frac{1}{10} - \frac{1}{250}$

خطوة 1.6.2

لكتابة $\frac{1}{10}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{25}{25}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{25}{25} - \frac{1}{250}$

خطوة 1.6.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $250$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

اضرب $\frac{1}{10}$ في $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25}{10 \cdot 25} - \frac{1}{250}$

خطوة 1.6.3.2

اضرب $10$ في $25$ .

$\frac{25}{250} - \frac{1}{250}$

خطوة 1.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{25 - 1}{250}$

خطوة 1.6.4.2

اطرح $1$ من $25$ .

$\frac{24}{250}$

خطوة 1.6.5

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $250$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.1

أخرِج العامل $2$ من $24$ .

$\frac{2 (12)}{250}$

خطوة 1.6.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $250$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 125}$

خطوة 1.6.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 125}$

خطوة 1.6.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{12}{125}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{12}{125}$ ونقطة مُعطاة $(25, \frac{26}{5})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{26}{5}) = \frac{12}{125} \cdot (x - (25))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12}{125} \cdot (x - 25)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{12}{125} \cdot (x - 25)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{26}{5} = 0 + 0 + \frac{12}{125} \cdot (x - 25)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12}{125} \cdot (x - 25)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12}{125} x + \frac{12}{125} \cdot - 25$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{12}{125}$ و $x$ .

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12}{125} \cdot - 25$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $25$ من $125$ .

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12}{25 (5)} \cdot - 25$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $25$ من $- 25$ .

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12}{25 \cdot 5} \cdot (25 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12}{25 \cdot 5} \cdot (25 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12}{5} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{12}{5}$ و $- 1$ .

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{12 \cdot - 1}{5}$

خطوة 2.3.1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.7.1

اضرب $12$ في $- 1$ .

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} + \frac{- 12}{5}$

خطوة 2.3.1.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \frac{26}{5} = \frac{12 x}{125} - \frac{12}{5}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{26}{5}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{12 x}{125} - \frac{12}{5} + \frac{26}{5}$

خطوة 2.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{12 x}{125} + \frac{- 12 + 26}{5}$

خطوة 2.3.2.3

أضف $- 12$ و $26$ .

$y = \frac{12 x}{125} + \frac{14}{5}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{12}{125} x + \frac{14}{5}$

خطوة 3