حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $\frac{π}{3}$ عن $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 1.2.2

بسّط $2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$y = \sin (2 \frac{π}{3})$

خطوة 1.2.2.2

اجمع $2$ و $\frac{π}{3}$ .

$y = \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.2.2.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$y = \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 1.2.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = \frac{π}{3}$ و $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x) \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.5

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.8

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

خطوة 2.9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

خطوة 2.10

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

خطوة 2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

خطوة 2.12

أضف $1$ و $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

خطوة 2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

خطوة 2.13.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

خطوة 2.14

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{π}{3}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.6

أعِد كتابة $- 1 (\frac{3}{2})$ بالصيغة $- (\frac{3}{2})$ .

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 2.15.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 2.15.1.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.9

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

خطوة 2.15.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

خطوة 2.15.1.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1.11.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

خطوة 2.15.1.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.15.1.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 2.15.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 3 + 1}{2}$

خطوة 2.15.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.2.1

أضف $- 3$ و $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

خطوة 2.15.2.2.2

اقسِم $- 2$ على $2$ .

$- 1$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $- 1$ ونقطة مُعطاة $(\frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $- 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 x - 1 (- \frac{π}{3})$

خطوة 3.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x - 1 (- \frac{π}{3})$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $- 1 (- \frac{π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + 1 \frac{π}{3}$

خطوة 3.3.1.5.2

اضرب $\frac{π}{3}$ في $1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + \frac{π}{3}$

خطوة 3.3.2

أضف $\frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - x + \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لكتابة $\frac{π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.3.3.2

لكتابة $\frac{\sqrt{3}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.3.3.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.3.3.3.3

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.3.3.4

اضرب $2$ في $3$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

خطوة 3.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - x + \frac{π \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

خطوة 3.3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$y = - x + \frac{2 \cdot π + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

خطوة 3.3.3.5.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$y = - x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{6}$

خطوة 4