حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ , $(2, 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ في صورة ${(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ و $g (x) = 2 x^{3} + 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

خطوة 1.6.2

اطرح $5$ من $1$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

خطوة 1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

خطوة 1.7.3

انقُل ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

خطوة 1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} + 8 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

خطوة 1.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

خطوة 1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x])$

خطوة 1.11

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

خطوة 1.12

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \cdot 1)$

خطوة 1.14

اضرب $8$ في $1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$

خطوة 1.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$ .

$(6 x^{2} + 8) \frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.15.2

اضرب $6 x^{2} + 8$ في $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.15.3

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2} + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.15.3.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.15.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.16

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2 {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.1

اضرب $2$ في ${(2)}^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.1.1

اضرب $2$ في ${(2)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.1.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1} {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.17.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1 + 3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.17.1.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.17.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 4 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.17.2.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{2 (12 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.17.2.3

أضف $12$ و $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.17.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.17.3.1.2

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 16)}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.17.3.2

أضف $16$ و $16$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.17.3.3

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $2^{5}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

خطوة 1.17.3.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

خطوة 1.17.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

خطوة 1.17.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{4}}$

خطوة 1.17.3.6

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 16}$

خطوة 1.17.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.4.1

اضرب $2$ في $16$ .

$\frac{32}{5 \cdot 16}$

خطوة 1.17.4.2

اضرب $5$ في $16$ .

$\frac{32}{80}$

خطوة 1.17.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $32$ و $80$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.4.3.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$\frac{16 (2)}{80}$

خطوة 1.17.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.4.3.2.1

أخرِج العامل $16$ من $80$ .

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

خطوة 1.17.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

خطوة 1.17.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{5}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{2}{5}$ ونقطة مُعطاة $(2, 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{2}{5} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{2}{5} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 2 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{2}{5}$ و $x$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $2$ و $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 10}{5}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 4$ و $10$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{6}{5}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{6}{5}$

خطوة 3