حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{4 x + 7}$ , $x = 4$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $4$ عن $x$ .

$y = \sqrt{4 (4) + 7}$

خطوة 1.2

بسّط $\sqrt{4 (4) + 7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب $4$ في $4$ .

$y = \sqrt{16 + 7}$

خطوة 1.2.2

أضف $16$ و $7$ .

$y = \sqrt{23}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = \sqrt{23}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 x + 7}$ في صورة ${(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 4 x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x + 7$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

خطوة 2.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

خطوة 2.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

خطوة 2.7.3

انقُل ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 2.9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 2.11

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 2.12

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

خطوة 2.13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

خطوة 2.13.2

اجمع $\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ و $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.13.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 2.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.15

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$\frac{2}{{(4 (4) + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.16

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{2}{{(16 + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.16.2

أضف $16$ و $7$ .

$\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ ونقطة مُعطاة $(4, \sqrt{23})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{23}) = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (4))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \sqrt{23} = 0 + 0 + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

اجمع $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ و $- 4$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 4}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.1.5.2

اضرب $2$ في $- 4$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.2

أضف $\sqrt{23}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23}$

خطوة 3.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لكتابة $\sqrt{23}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23} \cdot \frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.3.2

اجمع $\sqrt{23}$ و $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + \sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.4.1

اضرب $\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{23}$ في صورة $23^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2}} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.3.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.3.4.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1 + 1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.3.4.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.3.4.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.4.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.3.4.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{1}}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.3.4.2

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.3.4.3

أضف $- 8$ و $23$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.3.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4