حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} - x y - y^{2} = 1$ , $(5, 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 5$ و $y = 3$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - x y - y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y y')$

خطوة 1.2.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 x - (x y' + y) - 2 y y'$

خطوة 1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x - (x y') - y - 2 y y'$

خطوة 1.2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 x - x y' - y - 2 y y'$

خطوة 1.2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y$

خطوة 1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$- x y' - 2 y y' - y = - 2 x$

خطوة 1.5.1.2

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$- x y' - 2 y y' = - 2 x + y$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' - 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $- x y'$ .

$y' (- x) - 2 y y' = - 2 x + y$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (- 2 y) = - 2 x + y$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ على $- x - 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ على $- x - 2 y$ .

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.5

أعِد كتابة $- (2 x - y)$ بالصيغة $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (2 y)}$

خطوة 1.5.3.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x + 2 y)}$

خطوة 1.5.3.3.9

أعِد كتابة $- (x + 2 y)$ بالصيغة $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

خطوة 1.5.3.3.10

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

خطوة 1.5.3.3.11

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 5$ و $y = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$\frac{2 (5) - y}{(5) + 2 y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $3$ في العبارة.

$\frac{2 (5) - (3)}{(5) + 2 (3)}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{10 - (3)}{5 + 2 (3)}$

خطوة 1.7.3.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{10 - 3}{5 + 2 (3)}$

خطوة 1.7.3.3

اطرح $3$ من $10$ .

$\frac{7}{5 + 2 (3)}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{7}{5 + 6}$

خطوة 1.7.4.2

أضف $5$ و $6$ .

$\frac{7}{11}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{7}{11}$ ونقطة مُعطاة $(5, 3)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{7}{11} \cdot (x - (5))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 3 = \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{7}{11} \cdot (x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 3 = \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 3 = \frac{7}{11} x + \frac{7}{11} \cdot - 5$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{7}{11}$ و $x$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{7}{11} \cdot - 5$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{7}{11} \cdot - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{7}{11}$ و $- 5$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{7 \cdot - 5}{11}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $7$ في $- 5$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35}{11}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 3 = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + 3$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + 3 \cdot \frac{11}{11}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $3$ و $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + \frac{3 \cdot 11}{11}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35 + 3 \cdot 11}{11}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $3$ في $11$ .

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35 + 33}{11}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 35$ و $33$ .

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 2}{11}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{2}{11}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{7}{11} x - \frac{2}{11}$

خطوة 3