حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ , $(1, 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

خطوة 1.3.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

خطوة 1.5

اقسِم كل حد في $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

خطوة 1.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

خطوة 1.5.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

خطوة 1.5.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

خطوة 1.5.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 y} + \frac{3 (1)}{y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $2$ في العبارة.

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3 (1)}{2}$

خطوة 1.7.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

خطوة 1.7.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{3 \cdot 1}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{3}{2}$

خطوة 1.7.4.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2}$

خطوة 1.7.5

لكتابة $\frac{3}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 1.7.6

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.7.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

خطوة 1.7.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{4}$

خطوة 1.7.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.8.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{3 + 6}{4}$

خطوة 1.7.8.2

أضف $3$ و $6$ .

$\frac{9}{4}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{9}{4}$ ونقطة مُعطاة $(1, 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{9}{4} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{9}{4} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 2 = \frac{9}{4} x + \frac{9}{4} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{9}{4}$ و $x$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9}{4} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{9}{4} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{9}{4}$ و $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $9$ في $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 2 = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $2$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 2 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 8}{4}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 9$ و $8$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{9}{4} x - \frac{1}{4}$

خطوة 3