حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ , $(4, 9)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 9$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة الطرف الأيسر بأُسس كسرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 5$

خطوة 1.1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 5$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5)$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

خطوة 1.3.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

خطوة 1.3.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

خطوة 1.3.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

خطوة 1.3.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

خطوة 1.3.3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

خطوة 1.3.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

خطوة 1.3.3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

خطوة 1.3.3.9

اجمع $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

خطوة 1.3.3.10

انقُل $y^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 1.6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اطرح $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6.2

اضرب كلا الطرفين في $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1.1

بسّط $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.6.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.6.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.6.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.6.3.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.2.1

بسّط $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ إلى بسط الكسر.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.6.3.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.6.3.2.1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 1.6.3.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.6.3.2.1.1.5

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.6.3.2.1.2

اجمع $\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6.3.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8

احسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $9$ في العبارة.

$- \frac{{(9)}^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- \frac{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.3.4

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{3}{4^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{3}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.8.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.8.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3}{2^{1}}$

خطوة 1.8.4.4

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{3}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{3}{2}$ ونقطة مُعطاة $(4, 9)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 9 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 9 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 9 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $x$ و $\frac{3}{2}$ .

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

خطوة 2.3.1.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

خطوة 2.3.1.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.2.4

اضرب $- 3$ في $- 2$ .

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

خطوة 2.3.1.3

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y - 9 = - \frac{3 x}{2} + 6$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{3 x}{2} + 6 + 9$

خطوة 2.3.2.2

أضف $6$ و $9$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 15$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 15$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{3}{2} x + 15$

خطوة 3