حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ at $x = - 1$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $- 1$ عن $x$ .

$y = \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

خطوة 1.2

بسّط $\frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $7$ .

$y = \frac{- 1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

خطوة 1.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

خطوة 1.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $7$ .

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{- 1}$

خطوة 1.2.1.4

اقسِم $7$ على $- 1$ .

$y = - \frac{1}{7} - - 7$

خطوة 1.2.1.5

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7$

خطوة 1.2.2

لكتابة $7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7 \cdot \frac{7}{7}$

خطوة 1.2.3

اجمع $7$ و $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + \frac{7 \cdot 7}{7}$

خطوة 1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- 1 + 7 \cdot 7}{7}$

خطوة 1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اضرب $7$ في $7$ .

$y = \frac{- 1 + 49}{7}$

خطوة 1.2.5.2

أضف $- 1$ و $49$ .

$y = \frac{48}{7}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = \frac{48}{7}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{7}}{7}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

خطوة 2.2.3

اجمع $7$ و $\frac{1}{7}$ .

$\frac{7}{7} x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

خطوة 2.2.4

اجمع $\frac{7}{7}$ و $x^{6}$ .

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

خطوة 2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

خطوة 2.2.5.2

اقسِم $x^{6}$ على $1$ .

$x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{7}{x^{7}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{7}}$ بالصيغة ${(x^{7})}^{- 1}$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{7})}^{- 1}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x^{6} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} (7 x^{6}))$

خطوة 2.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{7})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 7 (- x^{7 \cdot - 2} (7 x^{6}))$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $7$ في $- 2$ .

$x^{6} - 7 (- x^{- 14} (7 x^{6}))$

خطوة 2.3.6

اضرب $7$ في $- 1$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 14} x^{6})$

خطوة 2.3.7

اضرب $x^{- 14}$ في $x^{6}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

انقُل $x^{6}$ .

$x^{6} - 7 (- 7 (x^{6} x^{- 14}))$

خطوة 2.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{6} - 7 (- 7 x^{6 - 14})$

خطوة 2.3.7.3

اطرح $14$ من $6$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 8})$

خطوة 2.3.8

اضرب $- 7$ في $- 7$ .

$x^{6} + 49 x^{- 8}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{6} + 49 \frac{1}{x^{8}}$

خطوة 2.4.2

اجمع $49$ و $\frac{1}{x^{8}}$ .

$x^{6} + \frac{49}{x^{8}}$

خطوة 2.5

احسِب قيمة المشتق في $x = - 1$ .

${(- 1)}^{6} + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$1 + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

خطوة 2.6.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $8$ .

$1 + \frac{49}{1}$

خطوة 2.6.1.3

اقسِم $49$ على $1$ .

$1 + 49$

خطوة 2.6.2

أضف $1$ و $49$ .

$50$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $50$ ونقطة مُعطاة $(- 1, \frac{48}{7})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{48}{7}) = 50 \cdot (x - (- 1))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $50 \cdot (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{48}{7} = 0 + 0 + 50 \cdot (x + 1)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50 \cdot 1$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $50$ في $1$ .

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $\frac{48}{7}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 50 x + 50 + \frac{48}{7}$

خطوة 3.3.2.2

لكتابة $50$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + 50 \cdot \frac{7}{7} + \frac{48}{7}$

خطوة 3.3.2.3

اجمع $50$ و $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7}{7} + \frac{48}{7}$

خطوة 3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7 + 48}{7}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اضرب $50$ في $7$ .

$y = 50 x + \frac{350 + 48}{7}$

خطوة 3.3.2.5.2

أضف $350$ و $48$ .

$y = 50 x + \frac{398}{7}$

خطوة 4