حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (x^{\frac{7}{2}})$ ; $(1, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $7$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

خطوة 1.7

اجمع $\frac{7}{2}$ و $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

خطوة 1.8

اضرب $\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ في $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

خطوة 1.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

انقُل $2$ إلى يسار $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 1.9.2

انقُل $x^{\frac{5}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{2 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{5}{2}}}$

خطوة 1.10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

اضرب $x^{\frac{7}{2}}$ في $x^{- \frac{5}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1.1

انقُل $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{7}{2 (x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{7}{2}})}$

خطوة 1.10.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{7}{2 x^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}}}$

خطوة 1.10.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7}{2 x^{\frac{- 5 + 7}{2}}}$

خطوة 1.10.1.4

أضف $- 5$ و $7$ .

$\frac{7}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.10.1.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{7}{2 x^{1}}$

خطوة 1.10.2

بسّط $2 x^{1}$ .

$\frac{7}{2 x}$

خطوة 1.11

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$\frac{7}{2 (1)}$

خطوة 1.12

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{7}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{7}{2}$ ونقطة مُعطاة $(1, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{7}{2} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.2

بسّط $\frac{7}{2} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{7}{2} x + \frac{7}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $\frac{7}{2}$ و $x$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.3.2.3

اضرب $\frac{7}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اجمع $\frac{7}{2}$ و $- 1$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{7 \cdot - 1}{2}$

خطوة 2.3.2.3.2

اضرب $7$ في $- 1$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

خطوة 2.3.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{7}{2} x - \frac{7}{2}$

خطوة 3