حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(- 1, \frac{1}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = \frac{1}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{1 + x^{2}}$ بالصيغة ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

خطوة 1.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

خطوة 1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

خطوة 1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

خطوة 1.4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.4.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = - 1$ .

$- \frac{2 (- 1)}{{(1 + {(- 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{- 2}{{(1 + {(- 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{- 2}{{(1 + 1)}^{2}}$

خطوة 1.6.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{- 2}{2^{2}}$

خطوة 1.6.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{- 2}{4}$

خطوة 1.6.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$- \frac{2 (- 1)}{4}$

خطوة 1.6.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.6.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{1}{2}$

خطوة 1.6.4

اضرب $- - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

خطوة 1.6.4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{2}$ ونقطة مُعطاة $(- 1, \frac{1}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (x - (- 1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{2} \cdot (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{1}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x + 1 + 1}{2}$

خطوة 2.3.2.3

أضف $1$ و $1$ .

$y = \frac{x + 2}{2}$

خطوة 2.3.2.4

قسّم الكسر $\frac{x + 2}{2}$ إلى كسرين.

$y = \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

خطوة 2.3.2.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$y = \frac{x}{2} + 1$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{2} x + 1$

خطوة 3