حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (2 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $1$ عن $x$ .

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

خطوة 1.2.3

احذِف الأقواس.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

خطوة 1.2.4

بسّط $\ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \ln (2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

خطوة 1.2.4.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

خطوة 1.2.4.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \ln (2 - 1 + 2 \cdot 1)$

خطوة 1.2.4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2)$

خطوة 1.2.4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

اطرح $1$ من $2$ .

$y = \ln (1 + 2)$

خطوة 1.2.4.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$y = \ln (3)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = \ln (3)$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

خطوة 2.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

خطوة 2.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

خطوة 2.2.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

خطوة 2.2.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

خطوة 2.2.9.2

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ .

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

خطوة 2.3

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

خطوة 2.4.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

خطوة 2.4.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2}$

خطوة 2.4.1.5

اطرح $1$ من $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 + 2}$

خطوة 2.4.1.6

أضف $1$ و $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

خطوة 2.4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

خطوة 2.4.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{3}$

خطوة 2.4.2.1.3

اضرب $8$ في $1$ .

$(- 2 + 8) \frac{1}{3}$

خطوة 2.4.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أضف $- 2$ و $8$ .

$6 (\frac{1}{3})$

خطوة 2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3}$

خطوة 2.4.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3}$

خطوة 2.4.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $2$ ونقطة مُعطاة $(1, \ln (3))$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (3)) = 2 \cdot (x - (1))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $2 \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \ln (3) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \ln (3) = 2 x + 2 \cdot - 1$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y - \ln (3) = 2 x - 2$

خطوة 3.3.2

أضف $\ln (3)$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 2 x - 2 + \ln (3)$

خطوة 4