حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} = 5 x^{4} - x^{2}$ , $(- 1, 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - x^{2})$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{4} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.3.2.3

اضرب $4$ في $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$20 x^{3} - (2 x)$

خطوة 1.3.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$20 x^{3} - 2 x$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$

خطوة 1.5

اقسِم كل حد في $2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $20 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

خطوة 1.5.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

خطوة 1.5.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

خطوة 1.5.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{- x}{y}$

خطوة 1.5.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} - \frac{x}{y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{3}}{y} - \frac{x}{y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$\frac{10 {(- 1)}^{3}}{y} - \frac{- 1}{y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $2$ في العبارة.

$\frac{10 {(- 1)}^{3}}{2} - \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.7.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{10 {(- 1)}^{3} + 1}{2}$

خطوة 1.7.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{10 \cdot - 1 + 1}{2}$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $10$ في $- 1$ .

$\frac{- 10 + 1}{2}$

خطوة 1.7.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

أضف $- 10$ و $1$ .

$\frac{- 9}{2}$

خطوة 1.7.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{9}{2}$ ونقطة مُعطاة $(- 1, 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{9}{2} \cdot (x - (- 1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 = - \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 2 = - \frac{9}{2} x - \frac{9}{2} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $x$ و $\frac{9}{2}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 9}{2} - \frac{9}{2}$

خطوة 2.3.1.3

انقُل $9$ إلى يسار $x$ .

$y - 2 = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2} + 2$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{9 x}{2} + \frac{- 9 + 2 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$y = - \frac{9 x}{2} + \frac{- 9 + 4}{2}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 9$ و $4$ .

$y = - \frac{9 x}{2} + \frac{- 5}{2}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{5}{2}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{9}{2} x) - \frac{5}{2}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$

خطوة 3