حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

خطوة 1.2.7

أضف $2 x - 2$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

خطوة 1.3.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

خطوة 1.3.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

خطوة 1.3.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

اضرب $2 x - 2$ في $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $x - 1$ و ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $2 (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.1

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

خطوة 1.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

خطوة 1.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{x - 1}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

$\frac{2}{(2) - 1}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{2}{1}$

خطوة 1.5.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $2$ ونقطة مُعطاة $(2, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.2

بسّط $2 \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y = 2 x - 4$

خطوة 3