حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(\frac{x + 3}{x - 1})}^{2}$ ; $(5, 4)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 5$ و $y = 4$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 3}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

خطوة 1.2

اجمع $2$ و $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 3$ و $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.4.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.8.3

اضرب $\frac{2 (x + 3)}{x - 1}$ في $\frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.5

اضرب $x - 1$ في ${(x - 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $x - 1$ في ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $x - 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 - x - 1 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.2.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{(2 x + 6) (0 - 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.3.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.3.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.3.4

اطرح $3$ من $- 1$ .

$\frac{(2 x + 6) \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.3.6

اضرب $- 4$ في $2$ .

$\frac{- 8 x + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.3.7

اضرب $6$ في $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.4

أخرِج العامل $8$ من $- 8 x - 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1

أخرِج العامل $8$ من $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.4.2

أخرِج العامل $8$ من $- 24$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (- 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.4.3

أخرِج العامل $8$ من $8 (- x) + 8 (- 3)$ .

$\frac{8 (- x - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{8 (- (x) - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.6

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (3))}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.8

أعِد كتابة $- (x + 3)$ بالصيغة $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.6.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8 (x + 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.7

احسِب قيمة المشتق في $x = 5$ .

$- \frac{8 ((5) + 3)}{{((5) - 1)}^{3}}$

خطوة 1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $5$ و $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{{(5 - 1)}^{3}}$

خطوة 1.8.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.1

اطرح $1$ من $5$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

خطوة 1.8.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

خطوة 1.8.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.1

اضرب $8$ في $8$ .

$- \frac{64}{64}$

خطوة 1.8.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{64}{64}$

خطوة 1.8.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 1$

خطوة 1.8.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 1$ ونقطة مُعطاة $(5, 4)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (5))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 1 \cdot (x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 5$

خطوة 2.3.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 5$

خطوة 2.3.1.4.2

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$y - 4 = - x + 5$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - x + 5 + 4$

خطوة 2.3.2.2

أضف $5$ و $4$ .

$y = - x + 9$

خطوة 3