حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 6 x y + 12 y^{2} = 28$ , $(2, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x y + 12 y^{2}) = \frac{d}{d x} (28)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 6 x y + 12 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x + 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

خطوة 1.2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (2 y y')$

خطوة 1.2.3.4

اضرب $2$ في $12$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 24 y y'$

خطوة 1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x + 6 (x y') + 6 y + 24 y y'$

خطوة 1.2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 x + 6 x y' + 6 y + 24 y y'$

خطوة 1.2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$6 x y' + 24 y y' + 2 x + 6 y$

خطوة 1.3

بما أن $28$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $28$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$6 x y' + 24 y y' + 2 x + 6 y = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$6 x y' + 24 y y' + 6 y = - 2 x$

خطوة 1.5.1.2

اطرح $6 y$ من كلا المتعادلين.

$6 x y' + 24 y y' = - 2 x - 6 y$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $6 y'$ من $6 x y' + 24 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $6 y'$ من $6 x y'$ .

$6 y' x + 24 y y' = - 2 x - 6 y$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $6 y'$ من $24 y y'$ .

$6 y' x + 6 y' (4 y) = - 2 x - 6 y$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $6 y'$ من $6 y' x + 6 y' (4 y)$ .

$6 y' (x + 4 y) = - 2 x - 6 y$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $6 y' (x + 4 y) = - 2 x - 6 y$ على $6 (x + 4 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $6 y' (x + 4 y) = - 2 x - 6 y$ على $6 (x + 4 y)$ .

$\frac{6 y' (x + 4 y)}{6 (x + 4 y)} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 y' (x + 4 y)}{6 (x + 4 y)} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x + 4 y)}{x + 4 y} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x + 4 y)}{x + 4 y} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6 (x + 4 y)$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (x + 4 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (x + 4 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x}{3 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $6$ من $- 6 y$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{- y}{x + 4 y}$

خطوة 1.5.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y}{x + 4 y}$

خطوة 1.5.3.3.2

لكتابة $- \frac{y}{x + 4 y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y}{x + 4 y} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 1.5.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $3 (x + 4 y)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.3.1

اضرب $\frac{y}{x + 4 y}$ في $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y \cdot 3}{(x + 4 y) \cdot 3}$

خطوة 1.5.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(x + 4 y) \cdot 3$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y \cdot 3}{3 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- x - y \cdot 3}{3 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y' = \frac{- x - 3 y}{3 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 3 y}{3 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (3 y)}{3 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{- (x + 3 y)}{3 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.9.1

أعِد كتابة $- (x + 3 y)$ بالصيغة $- 1 (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 3 y)}{3 (x + 4 y)}$

خطوة 1.5.3.3.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x + 3 y}{3 (x + 4 y)}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 3 y}{3 (x + 4 y)}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$- \frac{(2) + 3 y}{3 ((2) + 4 y)}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$- \frac{(2) + 3 (1)}{3 ((2) + 4 (1))}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$- \frac{2 + 3}{3 (2 + 4 (1))}$

خطوة 1.7.3.2

أضف $2$ و $3$ .

$- \frac{5}{3 (2 + 4 (1))}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $4$ في $1$ .

$- \frac{5}{3 (2 + 4)}$

خطوة 1.7.4.2

أضف $2$ و $4$ .

$- \frac{5}{3 \cdot 6}$

خطوة 1.7.5

اضرب $3$ في $6$ .

$- \frac{5}{18}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{5}{18}$ ونقطة مُعطاة $(2, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{5}{18} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = - \frac{5}{18} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{5}{18} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{5}{18} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - \frac{5}{18} x - \frac{5}{18} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $x$ و $\frac{5}{18}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} - \frac{5}{18} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5}{18}$ إلى بسط الكسر.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{18} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{2 (9)} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.2.3.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{9} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.2.4

اجمع $\frac{- 5}{9}$ و $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5 \cdot - 1}{9}$

خطوة 2.3.1.2.5

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{5}{9}$

خطوة 2.3.1.3

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$y - 1 = - \frac{5 x}{18} + \frac{5}{9}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{5}{9} + 1$

خطوة 2.3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{5}{9} + \frac{9}{9}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{5 + 9}{9}$

خطوة 2.3.2.4

أضف $5$ و $9$ .

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{14}{9}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{5}{18} x) + \frac{14}{9}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{5}{18} x + \frac{14}{9}$

خطوة 3