حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{49} \frac{1}{\sqrt[3]{{(27 + 2 x)}^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 27 + 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 27 + 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $27 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [27 + 2 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $27 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 2$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 27 + 2 x$ .

$u_{lower} = 27 + 2 \cdot 0$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 27 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $27$ و $0$ .

$u_{lower} = 27$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 27 + 2 x$ .

$u_{upper} = 27 + 2 \cdot 49$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $2$ في $49$ .

$u_{upper} = 27 + 98$

خطوة 1.5.2

أضف $27$ و $98$ .

$u_{upper} = 125$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 27$

$u_{upper} = 125$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{27}^{125} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{27}^{125} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}} \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt[3]{u^{2}}$ .

$\int_{27}^{125} \frac{1}{2 \sqrt[3]{u^{2}}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u^{2}}$ في صورة $u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{2}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اضرب $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} 3 u^{\frac{1}{3}}]_{27}^{125}$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $3 u^{\frac{1}{3}}$ في $125$ وفي $27$ .

$\frac{1}{2} ((3 \cdot 125^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $125$ بالصيغة $5^{3}$ .

$\frac{1}{2} (3 \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5^{1} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5 - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.3

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{3}$ .

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})})$

خطوة 6.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})})$

خطوة 6.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3^{1})$

خطوة 6.4.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3)$

خطوة 6.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $- 3$ في $3$ .

$\frac{1}{2} (15 - 9)$

خطوة 6.5.2

اطرح $9$ من $15$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6$

خطوة 6.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\frac{6}{2}$

خطوة 6.6.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2}$

خطوة 6.6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

خطوة 6.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1}$

خطوة 6.6.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3$