حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (x + 3) {(x - 1)}^{5} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (u + 1 + 3) u^{5} d u$

خطوة 2

أضف $1$ و $3$ .

$\int (u + 4) u^{5} d u$

خطوة 3

اضرب $(u + 4) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} + 4 u^{5} d u$

خطوة 4

اضرب $u$ في $u^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $u$ في $u^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{5} + 4 u^{5} d u$

خطوة 4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + 5} + 4 u^{5} d u$

خطوة 4.2

أضف $1$ و $5$ .

$\int u^{6} + 4 u^{5} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{6} d u + \int 4 u^{5} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{6}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int 4 u^{5} d u$

خطوة 7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 \int u^{5} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$\frac{1}{7} u^{7} + 4 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{4}{6} u^{6} + C$

خطوة 9.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 (2)}{6} u^{6} + C$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

خطوة 9.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

خطوة 9.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2}{3} u^{6} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$\frac{1}{7} {(x - 1)}^{7} + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{6} + C$