حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sqrt[3]{3 - 2 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$0 - 2$

خطوة 1.1.4

اطرح $2$ من $0$ .

$- 2$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 2.2

اجمع $\sqrt[3]{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

خطوة 5.2

اجمع $- \frac{u}{2}$ و $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

خطوة 5.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

خطوة 5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \int - \frac{u^{1 + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

خطوة 5.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

خطوة 5.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \int - \frac{u^{\frac{3 + 1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

خطوة 5.7

أضف $3$ و $1$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

خطوة 5.8

اضرب $2$ في $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

خطوة 5.9

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} d u$

خطوة 5.10

اضرب $2$ في $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u$

خطوة 5.11

أعِد ترتيب $- \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4}$ و $\frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$- \int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- (\int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

خطوة 7

بما أن $\frac{3}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{3}{4}$ خارج التكامل.

$- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

خطوة 9

اجمع $\frac{3}{4}$ و $u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u))$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{4}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{3}{7}$ و $u^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C))$

خطوة 13.2

بسّط.

$- (\frac{9 u^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$- (\frac{9}{16} u^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} u^{\frac{7}{3}}) + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 - 2 x$ .

$- (\frac{9}{16} {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

اجمع $\frac{9}{16}$ و ${(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

خطوة 16.1.2

اجمع ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ و $\frac{3}{28}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{28}) + C$

خطوة 16.1.3

انقُل $3$ إلى يسار ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

خطوة 16.2

لكتابة $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

خطوة 16.3

لكتابة $- \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

خطوة 16.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $112$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

اضرب $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ في $\frac{7}{7}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{16 \cdot 7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

خطوة 16.4.2

اضرب $16$ في $7$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

خطوة 16.4.3

اضرب $\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ في $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{28 \cdot 4}) + C$

خطوة 16.4.4

اضرب $28$ في $4$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112}) + C$

خطوة 16.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

خطوة 16.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.6.1

اضرب $7$ في $9$ .

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

خطوة 16.6.2

اضرب $4$ في $- 3$ .

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{112} (63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$