حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

خطوة 1.5

أضف $1$ و $8$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $9$ وفي $1$ .

$(2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $2$ في $3$ .

$6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$6 - 2 \cdot 1$

خطوة 4.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$6 - 2$

خطوة 4.3.4

اطرح $2$ من $6$ .

$4$