حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ ، لذا $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (\sqrt{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

خطوة 1.1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.1.3.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.1.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.1.6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.1.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.1.8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.1.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.1.11

اضرب $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

خطوة 1.1.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.12.1

انقُل $2$ إلى يسار $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.12.2

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.13

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.13.1

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.13.1.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.1.13.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.13.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

خطوة 1.1.13.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.1.13.1.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

خطوة 1.1.13.2

بسّط $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ بالصيغة $1 {u_{2}}^{2} + C$ .

$1 {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 4.3

اضرب ${u_{2}}^{2}$ في $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

خطوة 5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (\sqrt{x})$ .

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$