حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{5 y - 10}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

خطوة 1

أخرِج العامل $5$ من $5 y - 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 y$ .

$\int \frac{5 (y) - 10}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $5$ من $- 10$ .

$\int \frac{5 y + 5 \cdot - 2}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $5$ من $5 y + 5 \cdot - 2$ .

$\int \frac{5 (y - 2)}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

خطوة 2

لنفترض أن $u = y^{2} - 4 y + 11$ . إذن $d u = (2 y - 4) d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = (y - 2) d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = y^{2} - 4 y + 11$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2} - 4 y + 11$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 4 y + 11]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 4 y + 11$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 4 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 y - 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [11]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 y - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [11]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$2 y - 4 + \frac{d}{d y} [11]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 y - 4 + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $2 y - 4$ و $0$ .

$2 y - 4$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{5}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{5}{u \cdot 2} d u$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{5}{2 u} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{5}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{5}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{2} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 6

بسّط.

$\frac{5}{2} \ln (| u |) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2} - 4 y + 11$ .

$\frac{5}{2} \ln (| y^{2} - 4 y + 11 |) + C$