حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{3} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 t + 1$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 t + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 2 t + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 2 t + 1$ .

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

خطوة 1.5.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} u^{3} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{3}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{2}$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{4} u^{4}$ في $2$ وفي $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 5.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 5.3.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

خطوة 5.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4})$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

خطوة 5.5.2

اجمع $4$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

خطوة 5.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

خطوة 5.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 - 1}{4}$

خطوة 5.5.4.2

اطرح $1$ من $16$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

خطوة 5.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

خطوة 5.6.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{15}{8}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{15}{8}$

الصيغة العشرية:

$1.875$

صيغة العدد الذي به كسر:

$1 \frac{7}{8}$