حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{\sqrt[3]{5 x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 5 x^{2}$ . إذن $d u = 10 x d x$ ، لذا $\frac{1}{10} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 5 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (2 x)$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $5$ .

$10 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{10} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ في $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 10} d u$

خطوة 2.2

انقُل $10$ إلى يسار $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{1}{10 \sqrt[3]{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{10}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{10} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{10} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{10} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{10} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{10} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\frac{1}{10} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ بالصيغة $\frac{3}{20} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{3}{20} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x^{2}$ .

$\frac{3}{20} {(5 x^{2})}^{\frac{2}{3}} + C$