حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

خطوة 1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 x^{2}}} d x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 (\frac{1}{6})$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 (2)}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

خطوة 2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arcsin (u)$

$\frac{1}{3} \arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\arcsin (u)$ في $\frac{1}{2}$ وفي $0$ .

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - \arcsin (0))$

خطوة 6.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - 0)$

خطوة 6.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} + 0)$

خطوة 6.2

أضف $\frac{π}{6}$ و $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{3 \cdot 6}$

خطوة 6.3.2

اضرب $3$ في $6$ .

$\frac{π}{18}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{18}$

الصيغة العشرية:

$0.17453292 \dots$

خطوة 8