حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sin (2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{u}{2}$ و $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{u \sin (u)}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2 \cdot 2} d u$

خطوة 2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{4} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int u \sin (u) d u$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

خطوة 6.2

اضرب $\int \cos (u) d u$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

خطوة 7

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

خطوة 8

أعِد كتابة $\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ بالصيغة $\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{4} (- (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

خطوة 10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 10.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 10.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x \cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 10.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 10.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (- x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 10.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 10.5

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 10.6

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 10.7

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$