حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{4 x}{e^{5 x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 5 x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 10 x d x$ ، لذا $\frac{1}{10} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 5 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (2 x)$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $5$ .

$10 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{4}{e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{10} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{4}{e^{u_{1}}}$ في $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{4}{e^{u_{1}} \cdot 10} d u_{1}$

خطوة 2.2

انقُل $10$ إلى يسار $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{4}{10 \cdot e^{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int \frac{2 (2)}{10 e^{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10 e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{2 (2)}{2 (5 e^{u_{1}})} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2 \cdot 2}{2 (5 e^{u_{1}})} d u_{1}$

خطوة 2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{2}{5 e^{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{2}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{2}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اعكِس علامة أُس $e^{u_{1}}$ وأخرِجها من القاسم.

$\frac{2}{5} \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

خطوة 4.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

خطوة 4.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 u_{1}$ بالصيغة $- u_{1}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

خطوة 4.2.2

اضرب $e^{- u_{1}}$ في $1$ .

$\frac{2}{5} \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = - u_{1}$ . إذن $d u_{2} = - d u_{1}$ ، لذا $- d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = - u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $- u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{2}{5} \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{2}{5} (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 7

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{5} (- (e^{u_{2}} + C))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$\frac{2}{5} (- e^{u_{2}}) + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{2}{5}$ و $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{2 e^{u_{2}}}{5} + C$

خطوة 9

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- u_{1}$ .

$- \frac{2 e^{- u_{1}}}{5} + C$

خطوة 9.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x^{2}$ .

$- \frac{2 e^{- (5 x^{2})}}{5} + C$

خطوة 10

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- \frac{2 e^{- 5 x^{2}}}{5} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{2}{5} e^{- 5 x^{2}} + C$