حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ بالصيغة $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$\int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

خطوة 2

وسّع $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.1.2

أضف $x$ و $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.3

اضرب $e^{x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

انقُل $e^{- x}$ .

$\int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.3.3

أضف $- x$ و $x$ .

$\int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.4

بسّط $- e^{0}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.5

اضرب $e^{- x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

انقُل $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.5.3

اطرح $x$ من $x$ .

$\int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.6

بسّط $- e^{0}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

خطوة 3.1.8

اضرب $e^{- x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.8.1

انقُل $e^{- x}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

خطوة 3.1.8.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

خطوة 3.1.8.3

اطرح $x$ من $- x$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

خطوة 3.1.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

خطوة 3.1.10

اضرب $e^{- 2 x}$ في $1$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

خطوة 3.2

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- 2 \frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $- 2$ و $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- 2 u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 u_{1}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- u_{1}}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $- u_{1}$ على $1$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

خطوة 8

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{2} = - u_{1}$ . إذن $d u_{2} = - d u_{1}$ ، لذا $- d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{2} = - u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

خطوة 10.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $- u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 12

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - (e^{u_{2}} + C))$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} - 2 u_{1} - e^{u_{2}}) + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{u_{2}}) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- u_{1}}) + C$

خطوة 14.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- (2 x)}) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- (2 x)}) + C$

خطوة 15.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- 2 x}) + C$

خطوة 15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

خطوة 15.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

خطوة 15.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

خطوة 15.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

خطوة 15.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

خطوة 15.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$